函数的单调性

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三、概念的应用

     例1  图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

    

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     （用投影幻灯给出图象．）

     生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

     生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

     师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，

    

     （增或减）．反之不然．

     例2  证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

     师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

     （指出用定义证明的必要性．）

     师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

     （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x₁）和f（x₂）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

     师：对于f（x₁）和f（x₂）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

     生：（板演）设x₁，x₂是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x₁＜x₂时，

     f（x₁）-f（x₂）=（3x₁+2）-（3x₂+2）=3x₁-3x₂=3（x₁-x₂）＜0，

     所以f（x）是增函数．

     师：他的证明思路是清楚的．一开始设x₁，x₂是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x₁＜x₂（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x₁）-f（x₂），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x₁）-f（x₂）＜0，没有用到开始的假设“x₁＜x₂”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

     这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

    

     小．

     （对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

    

     调函数吗？并用定义证明你的结论．

    

    

     师：你的结论是什么呢？

    

     上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

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     生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x₁∈（-∞，0），取x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂显然成立，而f（x₁）＜0，f（x₂）＞0，显然有f（x₁）＜f（x₂），而不是f（x₁）＞f（x₂），因此它不是定义域内的减函数．

    

     生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

    

     域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

    

    

     上是减函数．

     （教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：

     （1）分式问题化简方法一般是通分．

     （2）要说明三个代数式的符号：k，x₁·x₂，x₂-x₁．

    

     要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

     对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

     四、课堂小结

     师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？

     （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

     生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

     五、作业

     1．课本P53练习第1，2，3，4题．

    

     数．

    

    

     =a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）

     =（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]．（*）

    

    

     +b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x₁）＜f（x₂）．

    

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     课堂教学设计说明

     函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

     另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

     还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．

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